Codes correcteurs

Il faut distinguer les codes correcteurs d’erreurs de la cryptographie. Les codes correcteurs d’erreur servent à protéger l’information d’erreurs de transmission ou de stockage. On peut trouver dans ce texte, avec des références bibliographiques précises, des idées d’exposés ou d’applications pour plusieurs leçons portant sur l’algèbre linéaire ou les polynômes. (Les titres des leçons sont ceux du rapport du jury 2001, en algèbre et géométrie ou en calcul scientifique.) – Corps finis. Applications. – Applications des congruences ou des corps finis aux thèmes du programme. – Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. (Extension de F2 engendrée par les racines primitives nèmes de l’unité pour les calculs sur les codes BCH) – Racines des polynômes à une indéterminée. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme. Exemples et applications. (Formules de Newton, décodage des codes BCH) – Idéaux d’un anneau commutatif unitaire. Exemples et applications. (Codes cycliques) – Dimension d’un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications. (Borne de Singleton, détermination du nombre d’erreurs pour les codes BCH) – Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice. Résolution d’un système d’équations linéaires. Applications. (Code sous forme systématique, calcul du polynôme localisateur d’erreurs pour les codes BCH) – Déterminant. Applications. (Vandermonde pour la distance minimum d’un code cyclique) – PGCD, PPCM : méthodes de calcul et applications dans les thèmes du programme. (Décodage d’un code BCH par l’algorithme d’Euclide) Les codes considérés dans ce texte sont tous binaires (sur le corps à deux éléments F2). Dans les références, on considère souvent plus généralement des codes sur un corps fini Fq. La référence la plus utile est sans doute le livre de Demazure [Dem].